Uslovi kretanja motornog vozila po putu. Kotrljanje točkova

Primeri slučajeva kotrljanja

U praksi, kod vozila i radnih mašina, mogu se pojaviti sledeći slučajevi kotrljanja u zavisnosti od osobina točka i tla:

Izvođenje — ravnoteža momenata za pogonski točak

U nastavku je prikazano jasno i uređeno izvođenje relacija koje povezuju obrtni moment na točku i tangencijalne sile u kontaktu sa podlogom. Koristićemo sledeće oznake (kratko):

• ΣM = 0 — suma momenata oko centra točka u ravnoteži (statička ili dinamika sa određenim uslovima).
• M_t — ukupan obrtni moment dostavljen točku (driving torque, „torque at tyre”).
• M_a — moment iz prenosnog sistema (npr. od pogona/transmisije).
• M_μ — moment trenja u ležaju (bearing friction moment).
• M_v — moment otpora vazduha vezan za rotiranje točka.
• Z_t — normalna (vertikalna) reakcija na pogonski točak (opterećenje točka).
• e — ekscentricitet normalne reakcije (ramenje sile koja izaziva moment otpora kotrljanju).
• X_t — tangencijalna sila na obimu koja deluje u smeru kretanja.
• r_d — dinamički (efektivni) poluprečnik točka (dynamic radius).
• F_t — zamišljena obimna sila na obimu točka koja ima isti efekat kao moment M_t.
• f — koeficijent otpora kotrljanju, definisan kao f = e / r_d (bezdimenzioni).
• R_f — sila otpora kotrljanju (rolling resistance force).
• G_t — opterećenje (težina) na tom točku.

Početna ravnoteža momenata glasi:

ΣM = 0  ⇒
Mt = Ma + Mμ + Mv + Zt·e + Xt·rd

Objašnjenja pojmova u formuli:

• M_a = J_t·dω/dt — inercioni moment rotirajućih masa; deluje kao dodatni moment otpora pri ubrzanom obrtanju točka. Ako je ω = konst, onda M_a = 0.
• Za mala režimska stanja često se zanemaruju moment trenja ležaja i aerodinamički moment: M_μ ≈ 0, M_v ≈ 0.

Ako zamislimo stacionarno stanje (ω = const, M_a = 0) i zanemarimo male momente, relacija se pojednostavljuje:

Mt = Zt·e + Xt·rd

Deljenjem sa r_d uvodimo obimnu silu F_t:

Ft ≡ Mt / rd
⇒ Ft = (e / rd)·Zt + Xt

Uvedimo koeficijent otpora kotrljanja:

f ≡ e / rd

Tada je relacija:

Ft = f·Zt + Xt

Dakle:

Xt = Ft − f·Zt

Sila otpora kotrljanja R_f je:

Rf = f·Zt

Ako uzmemo ΣY = 0:

Zt = Gt 
⇒ Rf = f·Gt

Sažetak (ključne jednačine)

ΣM = 0  ⇒  Mt = Zt·e + Xt·rd
Ft ≡ Mt / rd
f ≡ e / rd
⇒  Xt = Ft − f·Zt
Rf = f·Zt  (ili, po ΣY = 0, Rf = f·Gt)

Kada se mogu zanemariti momenti M_μ, M_v, M_a?

U osnovnoj jednačini ravnoteže momenata na točku pojavljuju se sledeći članovi:

• M_μ — moment mehaničkih gubitaka u ležajevima i osovinskim spojevima,
• M_v — moment otpora od vazduha (aerodinamički),
• M_a — moment inercije rotirajućih masa (ubrzanje/usporavanje).

U mnogim praktičnim analizama njihov doprinos je znatno manji od momenata koji nastaju zbog otpora kotrljanja i obimne sile F_t. Zato ih možemo zanemariti ako su ispunjeni određeni uslovi:

1. Mala brzina kretanja vozila
   Aerodinamički moment Mv raste približno s kvadratom brzine.
   Na malim brzinama (npr. < 30 km/h) njegov doprinos je < 5% ukupnog momenta.

   Primer: automobil mase 1200 kg  
   v = 20 km/h  
   Otpor vazduha ≈ 100 N  
   Otpor kotrljanja ≈ 120 N  
   ⇒ doprinos Mᵥ se može zanemariti
   

2. Dobro podmazani i ispravni ležajevi
   Moment trenja u ležajevima Mμi je vrlo mali u poređenju sa otporom kotrljanja gume.

   Primer: trenje u ležaju ≈ 0.1–0.2 Nm  
   Otpor kotrljanja = 20–40 Nm  
   ⇒ Mμ < 1% ukupnog momenta
   

3. Stacionarno kretanje (bez značajnog ubrzanja)
   Ako vozilo ide konstantnom brzinom, moment inercije Ma ≈ 0.
   Značajan je samo pri jakom ubrzanju ili kočenju.

   Primer: ubrzanje = 2 m/s²  
   Dodatni moment zbog inercije točkova = 10–15% ukupnog momenta pogona  
   Pri ravnomernom kretanju ⇒ Mₐ = 0
   

Zaključak

Članove Mμi, Mv, Ma možemo sigurno zanemariti kada analiziramo kretanje vozila pri malim brzinama, sa ispravnim ležajevima i pri konstantnoj brzini.
U suprotnom (velike brzine, kvarovi na ležajevima, jako ubrzanje/kočenje), potrebno ih je uključiti u proračun jer njihov doprinos može preći i 10–20% ukupnih momenata.

Histerezisni gubici — šta su, gde nastaju i veza sa ekscentricitetom e

Histerezisni gubici su energijski gubici koji nastaju kada se elastični materijal (npr. gumeni pneumatici) ciklično deformiše i vraća u prvobitno stanje. Deo energije uložen u deformaciju se ne vraća — pretvara se u toplotu.

Gde i zašto nastaju?

• U pneumaticima: pri kotrljanju segment gume ulazi u zonu kontakta, sabija se, a zatim se opušta — unutrašnje trenje materijala prouzrokuje gubitak energije.
• U podlozi: ako je podloga elastična (npr. meko zemljište, gumirana staza), deo energije se gubi i u njenoj deformaciji.
• U spojevima i ležajevima: unutrašnje trenje i mikropokreti takođe doprinose ukupnim gubicima, ali primarno histerezis u gumi dominira za otpor kotrljanja.

Gde su histerezisni gubici veći, a gde manji?

• Veći gubici: meke gume, niska temperatura (guma postaje kruta/viskoelastična na specifičan način), niske pritiske u pneumaticima, dubok ili rastresit sneg, pesak, mekano zemljište.
• Manji gubici: tvrde gume visokog pritiska (npr. kod bicikla ili specijalnih „low rolling resistance“ pneumatika), čvrste podloge (asfalt, beton), šine (čelik na čelik) — pod uslovom da nema klizanja.

Veza sa ekscentricitetom e i koeficijentom f

Ekscentricitet e (pomak rezultante normalne sile) je makro-efekat deformacija u zoni kontakta. Veći histerezisni gubici → veća asimetrična raspodela pritiska → veći e. Koeficijent otpora kotrljanja se definiše kao:

f ≡ e / rd

Dakle, histerezis direktno utiče na f kroz povećanje e. Povećanjem histerezisa raste R_f = f·Z_t, pa raste i gubitak snage koji motor mora da ispuni.

Praktične posledice

• Povećana potrošnja goriva ili energije pri većem f (posebno značajno za tegleće kamione i vozila sa velikim opterećenjem).
• Pneumatici sa smanjenim histerezisom (low rolling resistance) smanjuju f i štede gorivo, ali često imaju kompromis u prianjanju ili trajnosti.
• Pravilno održavanje (pritisak u gumama, temperatura, stanje gazećeg sloja) direktno utiče na histerezis i time na f.

Kratak numerički primer

// Primer:
Zt = 4000 N, rd = 0.30 m
Ako e = 0.0045 m  ⇒ f = e / rd = 0.015
Rf = f·Zt = 0.015·4000 = 60 N

Ako usled mekše gume e poraste na 0.006 m:
f = 0.006 / 0.30 = 0.02 → Rf = 80 N (povećanje gubitka 20 N po točku)

Zaključak: histerezisni gubici se ne predstavljaju dodatnim „posebnim momentom“ u jednačini ravnoteže momenata — njihov efekat je inkorporiran u ekscentricitet e i time u koeficijent f. Kontrola materijala gume i radnih uslova je ključna za smanjenje f i gubitaka.

Koeficijent prijanjanja

Koeficijent prijanjanja φ definiše se izrazom:

φ = Xt / Zt

Koristi se za ocenjivanje dejstva kretača i tla. Predstavlja meru čvrstoće kontakta kretača i tla ili meru njegovog odupiranja u kontaktu sa podlogom.

Ako važi Xt = RM, potom sledi:

φ = RM / Zt

Dakle, koeficijent prijanjanja direktno zavisi od otpora kretanju.

Maksimalni koeficijent prijanjanja

Najveća sila prijanjanja koja može da zadrži točak u stanju kotrljanja (spreči proklizavanje) određena je maksimalnim koeficijentom prijanjanja φ_max:

φ < φmax

Pri čemu važi:

Xt,max = φmax · Zt

Ovo je maksimalna propulzivna (vučna) sila koju točak može da prenese bez proklizavanja.

Ilustracija reda veličina – numerički primer

Primenimo realne vrednosti da vidimo koliki je doprinos otpora kotrljanja pri uobičajenim uslovima:

Zaključak: Pri suvim uslovima i tipičnim vrednostima, otpor kotrljanja iznosi oko 29 N po točku, što je samo približno 1.2 % maksimalne trakcije. To potvrđuje da, u normalnom kretanju, otpor kotrljanja predstavlja mali ali značajan deo ukupnih otpora (važan za proračun potrošnje, a marginalan za limite prijanjanja).

Tipične vrednosti koeficijenta otpora kotrljanja (C_rr / f) — orijentacione

Napomena: ovo su opšte, empirijske vrednosti (bezdimenzionalna veličina). Vrednosti zavise od tipa pneumatika, pritiska u gumama, brzine i stanja podloge; za tačne proračune koriste se merenja po standardima (SAE J1269 / J2452 / ISO 18164).

Napomena: Koeficijent otpora kotrljanja C_rr nije isto što i koeficijent prijanjanja μ. Dok C_rr opisuje gubitke energije pri kotrljanju, μ pokazuje maksimalnu silu trenja koju podloga može da obezbedi (npr. μ ≈ 0.8 na suvom asfaltu).

Analogija između maksimalnog koeficijenta prijanjanja i statičkog koeficijenta trenja

U kontekstu kretanja točkova i gusenica često se koristi pojam koeficijent prijanjanja (φ). Taj parametar opisuje koliko tangencijalna (vučna ili propulzivna) sila može da se prenese preko kontakta kretača i podloge bez proklizavanja. Matematički to zapisujemo kao:

Xt = φ · Zt

Ovde je X_t sila prijanjanja (tangencijalna sila koju kontakt može da prenese), a Z_t je vertikalno opterećenje na točku ili segment gusenice. Dakle, φ daje proporcionalnu granicu tangencijalne sile u odnosu na opterećenje.

Sa druge strane, u mehanici čvrstih tela koristi se pojam statičkog koeficijenta trenja (μ_s), koji za klizni ili statički kontakt definiše:

Ftr ≤ μs · N

gde je F_tr sila trenja, a N normalna (reakciona) sila. Obe relacije su tipa „maksimalna tangencijalna sila je proporcionalna normalnoj sili“ — zato je analogija prirodna: maksimalni koeficijent prijanjanja φ_max igra ulogu sličnu μ_s.

Ipak, treba naglasiti bitne razlike. Prijanjanje (φ) kod kotrljanja uključuje efekte deformacije točka i podloge, histereze i disipacije energije u materijalima, pa se njegova vrednost snažno zavisi od elastičnih svojstava, pritiska u gumi i brzine kretanja. Klasično trenje (μ) se obično definiše za kontakt između čvrstih tela i u osnovnim modelima ne zavisi značajno od brzine.

Kao posredna veza između ova dva pojma važi praktična procena: u trenutku kada točak počinje da klizi (prag proklizavanja), numeričke vrednosti se približavaju:

φ ≈ μs

Primeri iz prakse: za putničke gume na suvom asfaltu često se susreću vrednosti φ ≈ 0.7–0.9, što je u rangu statičkog trenja gume o asfalt (μ_s ≈ 0.8). Pri mokrom asfaltu φ opada (φ ≈ 0.4–0.6), što odgovara i opadanju μ u tim uslovima (μ ≈ 0.5). Za procenu praga proklizavanja može se u praksi koristiti analogija φ_max ↔ μ_s, ali pri proračunima koji zahtevaju tačnost treba uzeti u obzir dodatne faktore: konstrukciju pneumatika, temperaturu, pritisak u gumi i deformabilnost podloge.

Zaključak: Maksimalni koeficijent prijanjanja funkcioniše kao analog statičkog koeficijenta trenja u smislu ograničenja tangencijalne sile, ali je u prirodi kontakta točka i tla složeniji — jer uključuje deformacije i dinamičke efekte koje standardni μ model ne opisuje.

Vučeni (gonjeni) točak – izvođenje

Iz uslova ravnoteže momenata važi:

ΣM = 0  ⟹  Zt·e = F·rd

Ako podelimo sa dinamičkim poluprečnikom r_d:

Zt·(e / rd) - F = 0

odnosno:

F = (e / rd) · Zt

Objašnjenja:

• f = e / r_d — koeficijent otpora kotrljanju
• r_d — dinamički poluprečnik točka

Za vučeni (gonjeni) točak uslov prijanjanja glasi:

Xt = φ · Zt

odakle sledi:

φ = f

Zaključak: Kod vučenog (gonjenog) točka koeficijent prijanjanja φ jednak je koeficijentu otpora kotrljanju f.

Lekcija: Kotrljanje točkova

Pitanja

1. Šta znači da se točak kotrlja bez proklizavanja?
2. Objasni razliku između pogonskog (vučni) i gonjenog (vučeni) točka.
3. Kako se definiše koeficijent otpora kotrljanju?
4. Šta je maksimalni koeficijent prijanjanja i kako se koristi?
5. Koji faktori utiču na otpor kotrljanju?
6. Kako položaj opterećenja utiče na pogonski (vučni) točak?
7. Objasni pojmove dinamički poluprečnik i statički poluprečnik točka.
8. Koja je razlika između gonjenog (vučeni) i pogonskog (vučni) točka?
9. Kako zanemarivanje članova u jednačini utiče na rezultat?
10. Zašto je koeficijent prijanjanja važan pri eksploataciji i održavanju MV?

Metodologija merenja (SAE/ISO)

Merenja otpora kotrljanja i koeficijenta prijanjanja obično se izvode prema standardima SAE i ISO. Testovi uključuju kontrolisane uslove na ispitnim stazama ili laboratorijskim rolama, gde se registruju sile, brzina i opterećenje točka.

Standardizovane procedure osiguravaju da rezultati budu uporedivi i reproduktivni. Tipično se beleže:

• Vertikalno opterećenje točka (N)
• Brzina kotrljanja (m/s)
• Otpor kotrljanja (N ili kN)
• Koeficijent prijanjanja φ (bezdimenzioni)

Primer registrovanih vrednosti:

Dobijeni rezultati omogućavaju izračunavanje koeficijenata prijanjanja i predviđanje performansi točkova u realnim uslovima eksploatacije.